سمینار کنترل کیفیت آماری (ارائه پروژه)

 

زنجير‌هاي ماركوف زمان- پيوسته

عنوان:

زنجير‌هاي ماركوف زمان- پيوسته

 استاد راهنما:

جناب آقاي اكبر گلدسته

 نگارش:

نسرين نامي

نيم‌سال اول سال تحصيلي 89-1388

 

عنوان                                                      

چكيده                                                      

مقدمه                                                      

فصل 1                                                

1.1 متغير تصادفي                                                  

1.2 توزيع نمايي و بي‌حافظگي                                              

1.3 فرايندهاي تصادفي                                              

1.4 فرايند پواسون                                                 

1.5 زنجير ماركوف                                                  

1.6 برابري چپمن- كولموگروف                                              

1.7حالت‌هاي گذرا و بازگشتي                                               

1.8 فرايندهاي نيم‌ماركوفي                                          

1.9 توزيع مانا                                              

1.10. دوره اشتغال M/G/1                                            

فصل 2 زنجير ماركوف زمان- پيوسته                                        

2.1 تعريف زنجيرهاي  ماركوف زمان- پيوسته                                 

2.2 فرايندهاي زاد و مرگ                                           

2.3 معادله‌هاي ديفرانسيل كولموگروف                                       

2.4 احتمال‌هاي حدي                                           

2.5 زمان- برگشت‌پذيري                                              

2.5.1 صف‌هاي دنباله‌اي                                  

2.5.2 مدلي تصادفي براي جمعيت                               

2.6. کاربرد‌های زنجیر برگشتی در نظریه صف                               

2.6.1شبكه صف‌ها                                        

2.6.2 فرمول زيان ارلانگ                                

2.6.3 سیستم پردازشگر اشتراکی                         

 

 

                                                    

چكيده

در فصل 1 ابتدا متغير تصادفي را تعريف مي‌كنيم و مطالبي را بطور مختصر در مورد توزيع نمايي و بي‌حافظگي بيان مي‌كنيم. سپس كلياتي را در مورد توزيع پواسون و فرايند تصادفي مطرح مي‌كنيم. مسئله پيش‌بيني در فرايندهاي تصادفي از اهميت ويژه‌اي برخوردار است و در اين پيش‌بيني‌ها، اطلاعات گذشته به‌گونه‌اي در رفتار آينده فرايند موثر است. ويژگي ماركوف كه در اين فصل مورد بررسي قرار مي‌گيرد يكي از ويژگي‌هايي است كه مطالعه فرايند و پيش‌بيني رفتار آن را در آينده ساده‌تر خواهد كرد. برابري چپمن- كولموگروف يكي از مسائل مهم در زنجير ماركوف است كه در اين فصل به بررسي آن پرداخته شده است. در پايان فصل1 اشاره مختصري به فرايند نيم‌ماركوفي و توزيع مانا شده و ويژگي‌هايي را در مورد آنها بيان شده است.

فصل 2 در مورد زنجيرهاي ماركوف پيوسته- زمان است. در بخش 2.1 زنجيرهاي ماركوف پيوسته- زمان را تعريف مي‌كنيم و آنها را به زنجيرهاي ماركوف گسسته- زمان مربوط مي‌سازيم. در بخش 2.2 رده مهمي از زنجيرهاي ماركوف پيوسته- زمان را كه به فرايند زاد و مرگ موسومند معرفي مي‌كنيم. اين فرايندها براي مدل‌بندي جمعيت‌هايي كه اندازه‌ آنها در هر زمان يك واحد تغيير مي‌كند به كار مي‌روند. در بخش 2.3 دو مجموعه از معادله‌هاي ديفرانسيل – معادله‌هاي پيشرو و پسرو را بدست مي‌آوريم، كه قانون احتمال سيستم را توضيح مي‌دهند. مطالب بخش 2.4 به تعيين احتمال‌هاي حدي (احتمال‌هاي در دراز مدت) در رابطه با زنجيرهاي ماركوف پيوسته- زمان اختصاص دارد. در بخش 2.5 مبحث زمان- برگشت‌پذيري را بررسي مي‌كنيم. علاوه بر مطالب ديگر نشان مي‌دهيم كه فرايندهاي زاد و مرگ زمان- برگشت‌پذيرند، و سپس اهميت اين موضوع را در سيستم‌هاي صف‌بندي نشان خواهيم داد. كاربرد زمان- برگشت‌پذيري در مدل‌هاي تصادفي جمعيت نيز در اين بخش معرفي شده‌اند. در بخش 2.6 اهميت زنجير برگشتي را، حتي وقتي كه فرايند زمان- برگشت‌پذير نيست، با بكار‌گيري آن در مطالعه مدل‌هاي شبكه صف براي بدست آوردن قاعده زيان ارلانگ و تحليل سيستم پردازشگر مشاركتي، نشان خواهيم داد.

  مقدمه

مختصري از زندگي ماركوف

ماركوف در سال 1856 در پتروگراد به دنيا آمد. ماركوف خيلي زود نشان داد كه در رياضيات استعداد درخشاني دارد. در سال 1874 وارد دانشگاه سنت پيترزبورگ شد و در درس سميناري كه براي دانشجويان زبده بوسيله كركين و زولوتارف داير شده بود ثبت‌نام كرد.

در سال 1878 ماركوف از دانشگاه، با اخذ مدال طلا به خاطر پايان‌نامه ليسانس وي درباره انتگرال‌گيري معادلات ديفرانسيل بوسيله كسرهاي مسلسل، فارغ‌التحصيل شد. در سال‌هاي 1880 وي از پايان‌نامه فوق‌ليسانس خود در همان دانشگاه دفاع كرد. ماركوف در همين دانشگاه براي دوره دكتري باقي ماند و به عنوان استاد پاره‌وقت شروع به تدريس كرد. در سال 1884 وي از پايان‌نامه خود دفاع كرد و از دانشگاه فارغ‌التحصيل شد. پايان‌نامه دكتراي ماركوف درباره كسرهاي مسلسل و مسئله گشتاورها بود.

مسائل مورد توجه دانشمندان در آن زمان در زمينه احتمال مسائلي در زمينه قضيه حد مركزي و قانون اعداد بزرگ بود كه سعي مي‌شد تحت شرايط مناسبي اين دو قضيه عمده را ثابت كنند. ماركوف و هم‌ عصران وي تا حد زيادي در اين زمينه پيش رفتند. يكي از شرط‌هاي اساسي در اين دو قضيه استقلال متغيرهاي تصادفي است. ماركوف بر آن شد تا اين شرط را ضعيف‌تر كند و نوعي وابستگي بين متغيرها قايل شود. اين وابستگي‌ها همان وابستگي است كه بعدها به ويژگي ماركوف معروف شد. اولين بار در سال 1906 بود كه اين نوع از وابستگي‌ها بين متغيرهاي در مقاله‌اي تحت عنوان تعميم قانون اعداد بزرگ براي متغيرهاي دو به دو وابسته، بوسيله ماركوف مطرح شد. مدلي كه به اين صورت توسط ماركوف براي دنباله‌اي از متغيرهاي تصادفي مطرح شد بعدا براي گردايه‌اي از متغيرهاي تصادفي  نيز تعميم يافت و بنابر پيشنهاد خين‌چين فرايند ماركوف ناميده شد. مطالعه در مورد فرايندهاي ماركوف توسط دانشمنداني از قبيل برنشتين، فرشه، رومانفسكي و كولموگوروف ادامه يافت.

 

محاسبات تصادفی و کاربرد آن در امور مالی

عنوان: محاسبات تصادفی و کاربرد آن در امور مالی

 استاد راهنما: آقای اکبر گلدسته

 نگارش: شیدا مقیمی

شماره دانشجویی: ٨٤١٢٣٢٥٢

 بهمن ٨٨

محتویات :

چکیده
مقدمه
خلاصه اي از روند كلي پروژه
فصل اول: مروری کوتاه بر قضیه های پایه ای
تعاریف پایه
مقدار مورد انتظار،واریانس
تابع های توزیع
استقلال
لم برل کنتلی
تابع های مشخصه
قانون قوی اعداد بزرگ و قضیه ی حد مرکزی
امید شرطی
مارتينگل ها
فصل دوم: حرکت براونی و اغتشاش خالص
محرک و تعاریف.
ساختار حرکت براونی
ویژگی های مسیر نمونه
ویژگی مارکف
فصل سوم: انتگرال های تصادفی، انتگرال It
تعاریف
تعریف و خواص انتگرال It
انتگرال های It  ی نا معین
فرمولIt
انتگرال It  در ابعاد بالاتر

فصل چهارم: معادلات دیفرانسیل تصادفی

تعارف و مثال ها

وجود و یکتایی جواب ها

ویژگی های جواب ها

معادلات دیفرانسیل تصادفی خطی

فصل پنجم: کاربرد ها

زمان های توقف

کاربرد های فرمول پدی، فینمن-کک

توقف بهینه

انتگرال استراتنویچ

قیمت گذاری بر اساس روش آنتخاب

آنتخاب های آمریکایی

آنتخاب های آسیایی

بعضی مدل های نرخ بهره

چکیده:

    ریاضیات مالی یکی از جدید ترین رشته های جهان در زمینه ی ریاضیات و مالیه است. علم آمار در این رشته نقش مهمی ایفا می کند. 

   درس محاسبات تصادفی یکی از دروس پایه ای اين رشته است، که در آن نقش آمار و احتمال در مدل بندی کردن فرآیند های مالی به وضوح دیده می شود.  

   در اين پروژه هدف اين است تاضمن آشنایی با درس، درباره ی برخي از كاربرد هاي آن در امور مالي و ریاضیات مانند: اختیارهای آمریکایی و آسیایی، قیمت گذاری بر اساس روش اختیار، بعضی مدل های نرخ بهره، انتگرال استراتنویچ و... بررسی شود.

   نتیجه ی این پروژه٬ارائه ی مطالبی تقریباٴ جامع ازاین درس و کاربرد های مختلف آن است که از منابع معتبر و به روز جهان استخراج شده اند.  

 

مقدمه :

             يكي از زمينه هاي كاربردي وجديدعلم رياضيات،که شامل شاخه هایي از رياضيات کاربردی كه تمركز آن بر روي بازارهاي مالي است،ریاضیات مالی نام دارد. محتواي رياضيات مالي توسعه مدل هاي رياضي ناشي از علم اقتصاد سرمايه گذاري و رفتار رياضي آنهاست. بر اساس نظریه ی مالیه[1] که تلاش مي‌كند سازوكار حاكم بر بازار مالي و چگونگي كار‌آمد‌تر كردن آن را بررسي و مطالعه كند. اين رشته‌ي نو‌ظهوراصولي را كه بر بازارهاي مالي حكم‌فرماست توضيح مي‌‌دهد و آن‌ها را روزآمد مي‌كند ودراين راستا بيش از هرچيز ازرياضيات بهره مي‌گيرد. تعامل اين دو رشته(رياضيات ونظريه‌ي ماليه) تا بدان‌جا پيش رفته است كه مسائل مالي اكنون در زمره‌ي پژوهش‌هاي راه‌بردي در رياضيات است.

        رياضيات مالي در مرز مشترك دانش‌هايي نظير رياضيات،آمار،اقتصاد،علوم رايانه ،وحتي فيزيك با سرعتي فزاينده در حال پيش‌روي است.اين رشته رابطه‌ي نزديكي با رشته‌ي اقتصاد مالي دارد .در اقتصاد مالي بيشتر مباحث تئوري مطرح است در حالي‌كه در اين رشته به مدل‌هاي رياضي وعددي در تجربه‌هاي عملي توجه مي‌شود. مثلا در حالي‌كه يك اقتصاددان مالي دلايل زير‌ساختي اين موضوع را كه چرا قيمت سهام شركتي مقداري مشخص است بررسي مي‌كند،رياضي‌دان مالي قيمت سهام مذكور را همان‌طور كه هست مي‌پذيرد و سپس تلاش مي‌كند به كمك محاسبات فرايندهاي تصادفي ارزش متعارفي ازموجودي‌هاي مشتقه بدست ‌آورد.

   در اين رشته دو روي‌كرد اساسي وجود دارد: (1)معادلات ديفرانسيل جزئي (2)احتمال و  فرايندهاي  تصادفي اين دو روي‌كرد مستقل، هردو، مجموعه‌اي از تكنيك‌هاي رياضي هستند كه كاربرد‌هاي متعددي در سرمايه‌گذاري مي‌يابند: ارزش‌گذاري دارايي، مديريت ريسك ومقابله با ريسك، بهينه سازي سهام، مديريت سرمايه‌گذاري در موقعيت‌هاي پيچيده‌ي اقتصادي و....ازجمله‌ي اين كاربردها هستند.

    دوره‌ي تحصيلات دانشگاهي این رشته مشتمل بر واحدهايي هم‌چون تحليل ريسك و روي‌دادهاي بعيد، نرخ بهره، فرايند معاملات ارزي خارجي، عوارض تورم، گزينش حقيقي، تقسيم انرژي، كنترل و بهينه سازي تصادفي،وساير مباحث رياضي مربوط به مدل‌سازي مسائل مالي مي‌باشد.

 رياضيات مالي بر حسب كاربرد با رشته‌هايي نظير مهندسي مالی هم‌پوشاني مي‌كند.رشته‌ي مهندسی مالی  بر كاربرد تمركز بيشتري دارد در حالي‌كه رياضيات مالي به مدل‌سازي و حل معادلات ديفرانسيل با مشتق جزئي مي‌پردازد.

 بانك‌هاي سرمايه‌گذاري،بانك‌هاي تجاري،شركت‌هاي بيمه،شركت‌هاي خزانه‌داري و... از دستاورد‌هاي علمي اين رشته بيش‌ترين استفاده را مي‌برند.

 

---

[1] - The theory of finance