زنجيرهاي ماركوف زمان- پيوسته
عنوان:
زنجيرهاي ماركوف زمان- پيوسته
استاد راهنما:
جناب آقاي اكبر گلدسته
نگارش:
نسرين نامي
نيم‌سال اول سال تحصيلي 89-1388
عنوان
چكيده
مقدمه
فصل 1
1.1 متغير تصادفي
1.2 توزيع نمايي و بي‌حافظگي
1.3 فرايندهاي تصادفي
1.4 فرايند پواسون
1.5 زنجير ماركوف
1.6 برابري چپمن- كولموگروف
1.7حالت‌هاي گذرا و بازگشتي
1.8 فرايندهاي نيم‌ماركوفي
1.9 توزيع مانا
1.10. دوره اشتغال M/G/1
فصل 2 زنجير ماركوف زمان- پيوسته
2.1 تعريف زنجيرهاي ماركوف زمان- پيوسته
2.2 فرايندهاي زاد و مرگ
2.3 معادله‌هاي ديفرانسيل كولموگروف
2.4 احتمال‌هاي حدي
2.5 زمان- برگشت‌پذيري
2.5.1 صف‌هاي دنباله‌اي
2.5.2 مدلي تصادفي براي جمعيت
2.6. کاربرد‌های زنجیر برگشتی در نظریه صف
2.6.1شبكه صف‌ها
2.6.2 فرمول زيان ارلانگ
2.6.3 سیستم پردازشگر اشتراکی
چكيده
در فصل 1 ابتدا متغير تصادفي را تعريف مي‌كنيم و مطالبي را بطور مختصر در مورد توزيع نمايي و بي‌حافظگي بيان مي‌كنيم. سپس كلياتي را در مورد توزيع پواسون و فرايند تصادفي مطرح مي‌كنيم. مسئله پيش‌بيني در فرايندهاي تصادفي از اهميت ويژه‌اي برخوردار است و در اين پيش‌بيني‌ها، اطلاعات گذشته به‌گونه‌اي در رفتار آينده فرايند موثر است. ويژگي ماركوف كه در اين فصل مورد بررسي قرار مي‌گيرد يكي از ويژگي‌هايي است كه مطالعه فرايند و پيش‌بيني رفتار آن را در آينده ساده‌تر خواهد كرد. برابري چپمن- كولموگروف يكي از مسائل مهم در زنجير ماركوف است كه در اين فصل به بررسي آن پرداخته شده است. در پايان فصل1 اشاره مختصري به فرايند نيم‌ماركوفي و توزيع مانا شده و ويژگي‌هايي را در مورد آنها بيان شده است.
فصل 2 در مورد زنجيرهاي ماركوف پيوسته- زمان است. در بخش 2.1 زنجيرهاي ماركوف پيوسته- زمان را تعريف مي‌كنيم و آنها را به زنجيرهاي ماركوف گسسته- زمان مربوط مي‌سازيم. در بخش 2.2 رده مهمي از زنجيرهاي ماركوف پيوسته- زمان را كه به فرايند زاد و مرگ موسومند معرفي مي‌كنيم. اين فرايندها براي مدل‌بندي جمعيت‌هايي كه اندازه آنها در هر زمان يك واحد تغيير مي‌كند به كار مي‌روند. در بخش 2.3 دو مجموعه از معادله‌هاي ديفرانسيل – معادله‌هاي پيشرو و پسرو را بدست مي‌آوريم، كه قانون احتمال سيستم را توضيح مي‌دهند. مطالب بخش 2.4 به تعيين احتمال‌هاي حدي (احتمال‌هاي در دراز مدت) در رابطه با زنجيرهاي ماركوف پيوسته- زمان اختصاص دارد. در بخش 2.5 مبحث زمان- برگشت‌پذيري را بررسي مي‌كنيم. علاوه بر مطالب ديگر نشان مي‌دهيم كه فرايندهاي زاد و مرگ زمان- برگشت‌پذيرند، و سپس اهميت اين موضوع را در سيستم‌هاي صف‌بندي نشان خواهيم داد. كاربرد زمان- برگشت‌پذيري در مدل‌هاي تصادفي جمعيت نيز در اين بخش معرفي شده‌اند. در بخش 2.6 اهميت زنجير برگشتي را، حتي وقتي كه فرايند زمان- برگشت‌پذير نيست، با بكار‌گيري آن در مطالعه مدل‌هاي شبكه صف براي بدست آوردن قاعده زيان ارلانگ و تحليل سيستم پردازشگر مشاركتي، نشان خواهيم داد.
مقدمه
مختصري از زندگي ماركوف
ماركوف در سال 1856 در پتروگراد به دنيا آمد. ماركوف خيلي زود نشان داد كه در رياضيات استعداد درخشاني دارد. در سال 1874 وارد دانشگاه سنت پيترزبورگ شد و در درس سميناري كه براي دانشجويان زبده بوسيله كركين و زولوتارف داير شده بود ثبت‌نام كرد.
در سال 1878 ماركوف از دانشگاه، با اخذ مدال طلا به خاطر پايان‌نامه ليسانس وي درباره انتگرال‌گيري معادلات ديفرانسيل بوسيله كسرهاي مسلسل، فارغ‌التحصيل شد. در سال‌هاي 1880 وي از پايان‌نامه فوق‌ليسانس خود در همان دانشگاه دفاع كرد. ماركوف در همين دانشگاه براي دوره دكتري باقي ماند و به عنوان استاد پاره‌وقت شروع به تدريس كرد. در سال 1884 وي از پايان‌نامه خود دفاع كرد و از دانشگاه فارغ‌التحصيل شد. پايان‌نامه دكتراي ماركوف درباره كسرهاي مسلسل و مسئله گشتاورها بود.
مسائل مورد توجه دانشمندان در آن زمان در زمينه احتمال مسائلي در زمينه قضيه حد مركزي و قانون اعداد بزرگ بود كه سعي مي‌شد تحت شرايط مناسبي اين دو قضيه عمده را ثابت كنند. ماركوف و هم عصران وي تا حد زيادي در اين زمينه پيش رفتند. يكي از شرط‌هاي اساسي در اين دو قضيه استقلال متغيرهاي تصادفي است. ماركوف بر آن شد تا اين شرط را ضعيف‌تر كند و نوعي وابستگي بين متغيرها قايل شود. اين وابستگي‌ها همان وابستگي است كه بعدها به ويژگي ماركوف معروف شد. اولين بار در سال 1906 بود كه اين نوع از وابستگي‌ها بين متغيرهاي در مقاله‌اي تحت عنوان تعميم قانون اعداد بزرگ براي متغيرهاي دو به دو وابسته، بوسيله ماركوف مطرح شد. مدلي كه به اين صورت توسط ماركوف براي دنباله‌اي از متغيرهاي تصادفي مطرح شد بعدا براي گردايه‌اي از متغيرهاي تصادفي نيز تعميم يافت و بنابر پيشنهاد خين‌چين فرايند ماركوف ناميده شد. مطالعه در مورد فرايندهاي ماركوف توسط دانشمنداني از قبيل برنشتين، فرشه، رومانفسكي و كولموگوروف ادامه يافت.